Der Goldene Schnitt ist ein Verhältnis, das seit der Antike als das vollkommenste und harmonischste gilt. Es bildet die Grundlage vieler alter Bauwerke, von Statuen bis hin zu Tempeln, und ist in der Natur sehr verbreitet. Gleichzeitig drückt sich dieser Anteil in überraschend eleganten mathematischen Konstruktionen aus.
Anweisungen
Schritt 1
Die goldene Proportion ist wie folgt definiert: Es ist eine solche Aufteilung eines Segments in zwei Teile, dass sich der kleinere Teil auf den größeren bezieht, so wie sich der größere Teil auf das gesamte Segment bezieht.
Schritt 2
Wenn die Länge des gesamten Segments als 1 und die Länge des größeren Teils als x angenommen wird, wird der gesuchte Anteil durch die Gleichung ausgedrückt:
(1 - x) / x = x / 1.
Multiplizieren wir beide Seiten des Anteils mit x und übertragen die Terme, erhalten wir die quadratische Gleichung:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Schritt 3
Die Gleichung hat zwei reelle Wurzeln, von denen uns natürlich nur das Positive interessiert. Es ist gleich (√5 - 1) / 2, was ungefähr 0, 618 entspricht. Diese Zahl drückt den Goldenen Schnitt aus. In der Mathematik wird es am häufigsten mit dem Buchstaben φ bezeichnet.
Schritt 4
Die Zahl φ hat eine Reihe bemerkenswerter mathematischer Eigenschaften. Zum Beispiel ist selbst aus der ursprünglichen Gleichung ersichtlich, dass 1 / φ = φ + 1 ist. Tatsächlich ist 1 / (0, 618) = 1,618.
Schritt 5
Eine andere Möglichkeit, den Goldenen Schnitt zu berechnen, besteht darin, einen unendlichen Bruch zu verwenden. Ausgehend von einem beliebigen x können Sie sequentiell einen Bruch konstruieren:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
usw.
Schritt 6
Um die Berechnungen zu erleichtern, kann dieser Bruch als iteratives Verfahren dargestellt werden, bei dem Sie zur Berechnung des nächsten Schritts eins zum Ergebnis des vorherigen Schritts addieren und eins durch die resultierende Zahl dividieren müssen. Mit anderen Worten:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Dieser Prozess konvergiert und sein Grenzwert ist φ + 1.
Schritt 7
Ersetzen wir die Berechnung des Kehrwerts durch das Ziehen der Quadratwurzel, führen wir also eine iterative Schleife durch:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), dann bleibt das Ergebnis unverändert: Unabhängig vom ursprünglich gewählten x konvergieren die Iterationen gegen den Wert φ + 1.
Schritt 8
Geometrisch kann der Goldene Schnitt mit einem regelmäßigen Fünfeck konstruiert werden. Wenn wir darin zwei sich schneidende Diagonalen zeichnen, teilt sich jede von ihnen streng im goldenen Schnitt. Diese Beobachtung gehört der Legende nach Pythagoras, der von dem gefundenen Muster so schockiert war, dass er den korrekten fünfzackigen Stern (Pentagramm) für ein heiliges göttliches Symbol hielt.
Schritt 9
Die Gründe, warum einem Menschen der Goldene Schnitt am harmonischsten erscheint, sind unbekannt. Experimente haben jedoch wiederholt bestätigt, dass die Probanden, die angewiesen wurden, das Segment in zwei ungleiche Teile zu teilen, dies am schönsten in Proportionen tun, die dem Goldenen Schnitt sehr nahe kommen.
